Požadavky ke zkoušce z Matematické analýzy 2 pro akademický rok 2024/25 (Prozatímní verze. Budu přidávat odkazy na studijní opory. Požadavky se změní minimálně, pokud vůbec. Po začátku zkouškového období se již nebudou měnit vůbec.)

Písemná část

Typové příklady, postupně budu přidávat další podle odpřednášené látky. Na sdíleném disku najdete některé z nich vyřešené (pro přístup se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, vlastnoručně psaný tahák velikosti jedné strany A4 (odevzdáte ho s písemkou).
Zadání písemné části vyvěsím vždy po termínu na webu.

Ústní část

Typy důkazů.

Předveďte důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí a nepřímý důkaz a vysvětlete jejich princip. Alespoň jednu větu zvolte z AN2, další můžete libovolně.

Limity.

Definice limity funkce v nevlastním bodě.
Definice nevlastní limity funkce.
Operace s nekonečny a věta o aritmetice limit.
Zdroj: přehled okolí, limit funkce a formulace věty o aritmetice limit.

Věta o sevřené funkci a její důkaz.
Zdroj: přednáška o goniometrických funkcích z doby online výuky.

Věta o limitě složené funkce, bez důkazu, použití při výpočtu.
Zdroj i s důkazem, který jsem neodpřednášela, na poslední straně najdete příklady.

Věta o L'Hospitalově pravidle.

Polynomy, racionální funkce.

Základní pojmy: polynom, stupeň polynomu, člen, koeficient, kořen polynomu. Věta o počtu kořenů polynomu i s důkazem. Rovnost polynomů jako výrazů a rovnost polynomů jako funkcí. Lemma o rovnosti polynomů i s důkazem, použití lemma na rozklad racionální funkce na součet parciálních zlomků.

Zdroje:
Text o polynomech.

Reálná čísla.

Axiomatická definice reálných čísel. Které axiomy použijeme k zavedení operací odčítání a dělení reálných čísel. Použití axiomů při úpravách nerovnice, vysvětlení na příkladu. Jak z axomů plyne, že můžeme dělit nenulovými čísly.
Důsledky axiomu suprema.

Zdroje:
Text o číselných množinách.

Goniometrické funkce.

Trigonometrická definice goniometrických funkcí. Odvození součtových vzorců pro sinus a kosinus. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly.

Definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici. Odvození hodnot goniometrických funkcí pro vybrané úhly. Odvození hodnoty limity sin(x)/x v nule pomocí věty o sevřené funkci. Jak se tato limita projeví na grafu funkce sinus. Jak se limita tg(x)/x v nule projeví na grafu funkce tangens.

Axiomatická definice goniometrických funkcí. Odvození vzorců pro sinus a kosinus dvojnásobného a polovičního argumentu. Odvození hodnot limit (1-cos(x))/x, (1-cos(x))/x^2 v nule, jak se první limita projeví na grafu funkce kosinus. Odvození vzorců pro derivace funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Taylorovy polynomy funkcí sinus a kosinus.

Grafy a vlastnosti funkcí sin(1/x), x sin(1/x), x^2 sin(1/x).

Zdroje:
Definice goniometrických funkcí (prezentace).
Přednáška z online výuky:
Součtové vzorce na konci videa (posledních zhruba 30 minut a poslední dva skeny) video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Celá přednáška video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Mimo letošní program je odvození součtových vzorců na jednotkové kružnici:
prezentace o průmětu geometrických vektorů, loňská prezentace o grafickém odvození součtových vzorců pro kosinus, předloňská prezentace o součtových vzorcích početně i graficky.

Cyklometrické funkce.

Definice cyklometrických funkcí (arcsin, arccos, arctg, arccotg).
Použití cyklometrických funkcí na řešení rovnic.
Limity funkcí arctg, arccotg v plus a mínus nekonečnu.
Odvození vzorců pro derivace cyklometrických funkcí.

Zdroje:
Přednáška z online výuky: video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Exponenciální a logaritmické funkce.

Axiomatická definice exponenciální funkce, vlastnosti, derivace a limity exponenciální funkce a jejich odvození.
Definice logaritmické funkce. Vlastnosti (logaritmus součinu, podílu a mocniny) a jejich odvození. Derivace a její odvození. Limity exponenciální funkce a jejich odvození.
Definice exponenciální funkce a logaritmu s obecným základem.

Zdroje:
Teze k přednášce
Přednášky z online výuky:
Mocninné funkce, exponenciální funkce, v závěru definice logaritmické funkce video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).
Logaritmická funkce, v závěru úvod ke goniometrickým funkcím video, skeny, stejné video na youtube s časovými značkami (postupně doplňuji) (pro spuštění se přihlaste na svůj @tul.cz účet).

Řady.

Základní pojmy: řada, člen řady, posloupnost částečných součtů řady, součet řady. Řada, která má součet, konvergentní řada, příklady.
Nutná podmínka konvergence i s důkazem. Příklad řady, která splňuje nutnou podmínku konvergence a nekonverguje.
Geometrická řada, konečná a nekonečná, odvození vzorců pro její součet. Periodický desetinný rozvoj jako příklad geometrické řady, převedení na zlomek.
Absolutně konvergentní řady a neabsolutně konvergentní řady. Věta o konvergenci absolutně konvergentní řady i s důkazem. Limitní podílové kritérium absolutní konvergence řad a hlavní myšlenky důkazu.
Příklad přerovnání řady, které změní součet řady. Souvislost s absolutní konvergencí.
Integrální kritérium konvergence řad, použití na řady s členy a_k=1/k^a pro kladné číslo a.

Zdroje:
Učební text od strany 157.
K absolutní konergenci řad: video, sken.

Integrály.

Riemannův integrál omezené funkce na omezeném intervalu: integrální součty, dolní a horní Riemannův integrál. Riemannovsky integrovatelná funkce, Riemannův integrál. Příklad funkce, která není Riemannovsky integrovatelná.
Vlastnosti Riemannova integrálu (aditivita vůči intervalu, pozitivita, monotonie, linearita vůči integrovatelné funkci). Odvození pozitivity a monotonie a aditivity vůči intervalu.
Definice stejnoměrné spojitosti funkce na intervalu. Lemma o spojitosti stejnoměrně spojité funkce s důkazem pro otevřený interval. Věta o stejnoměrné spojitosti spojité funkce na uzavřeném intervalu. Příklad funkce f a intervalu I: funkce f je spojitána intervalu I, ale není stejnoměrně spojitá na intervalu I.
Postačující podmínka riemannovské integrovatelnosti. Věta o riemannovské integrovatelnosti funkce spojité na uzavřeném intervalu s hlavní myšlenkou důkazu, s celým důkazem. Integrál s proměnnou horní mezí, výpočet pro po částech lineární funkci. Věta o derivaci integrálu podle horní meze, hlavní myšlenka důkazu, celý důkaz.
Primitivní funkce na intervalu. Jednoznačnost primitivní funkce na intervalu až na konstantu i s důkazem. Základní vzorce primitivních funkcí a jejich odvození.
Věta o existenci primitivní funkce ke spojité funkci i s důkazem.
Newtonův integrál, newtonovská integrovatelnost, konvergence Newtonova integrálu.
Vlastnosti Newtonova integrálu. Odvození vlastností pro konvergentní integrály (linearita vůči integrované funkci, aditivita vůči intervalu, pozitivita, monotonie).
Metody výpočtu primitivních funkcí a Newtonova integrálu: per partes i s odvozením, věta o substituci i s důkazem, integrace racionální funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky, integrace parciálních zlomků.
Rekurentní formule pro integrál mocnin sinu a kosinu i s odvozením.
Geometrické aplikace Riemannova integrálu i s odvozením: obsah pod grafem funkce, plocha mezi grafy funkce, objem rotačně symetrického tělesa, délka křivky, povrch rotačně symetrického tělesa.

Učební text, k rozličným tématům, používám ho v některých online lekcích.
Text o výpočtu integrálů.
Text Jiřího Veselého, Základy matematické analýzy: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma11-12/MA_I/ppma.pdf